CONCURSUL INTERJUDETEAN „PITAGORA”

	PROBA INDIVIDUALA	
	Clasa a IV-a   
1) a) Aflati suma cifrelor numarului de forma   stiind ca sunt indeplinite  simultan conditiile: i) d > e; ii) ; iii) b + ; iv) d + b + e = 10; v) .
      b) Aflati x + y + z stiind ca: i) marind pe x de 3 ori suma creste cu 48; ii) mcsorand pe y de 3 ori suma scade cu 32; iii) inlocuind pe z cu 48 suma creste cu 12.
								Dumitru Avram, invatator, Rm. Valcea
2) Cand un sfert din numarul baietilor din clasa a IV-a A pleaca din curtea scolii, in clasa raman 24 de elevi. Cand un sfert din numarul fetelor pleaca din clasa, raman in clasa 25 de elevi. Cati elevi sunt in clasa a IV-a A.
								Constantin Dinca, invatator, Rm. Valcea
3) Proprietarul unei galerii de arta a cumparat 4 tablouri cu 500000 lei fiecare pe care le-a vandut cu 400000 lei bucata. A mai cumparat cateva tablouri cu 200000 lei bucata pe care le-a vandut cu 300000 lei bucata. Dupa ce a vandut toate tablourile cumparate constata ca a castigat 1500000 lei. Cate tablouri cu 200000 lei bucata achizitionase?
								Maria Grecu, invatatoare, Rm. Valcea
4) Din A pleaca spre B, iar din B sprea A cate un automobil cu aceeasi viteza. La un moment dat, distanta dintre ele este de 4800 m pe care o parcurg in doua minute pana ce se intalnesc. Apoi isi continua drumul spre B, respectiv A si, fara oprire, se intorc si are loc a doua intalnire dupa 42 minute de la prima intalnire.
a) Care este viteza de deplasare? b) Care este distanta dintre A si B? Daca dupa a doua intalnire automobilul care a plecat din B isi mareste viteza cu o treime, la ce distanta de B are loc a treia intalnire?
				Maria Diaconu, Elena Maiug, invatatoare, Rm. Valcea

	Clasa a V-a   
1) Fie S = .
a) Cati termeni are suma? b) Este S un patrat perfect?
					Artur Balauca, profesor, Botosani
2) Aflati valoarea raportului dintre cel mai mare si cel mai mic numar natural de forma , fiecare fiind produsul a trei numere prime.
							Leon Genoiu, profesor, Rm. Valcea
3) Intr-o cutie sunt creioane colorate cu una dintre culorile albastru, rosu, respectiv verde. Numarul creioanelor albastre reprezinta  din numarul celor rosii, iar cele rosii reprezinta din numarul celor verzi. Sa se afle cate creioane sunt de fiecare fel daca numarul total de creioane este de forma 
							Nicolae Serban, profesor, Rm. Valcea
4) Dublul numarului paginilor unie carti este egal cu numarul cifrelor folosite in paginarea acesteia. Cate pagini are cartea? Daca intr-o zi citesc cu o pagina mai mult decat in ziua precedenta, in cate zile pot citi cartea, daca o citesc in cel mult 10 zile si cate pagini citesc in fiecare zi?
						Mariana si Constantin Saraolu, profesori, Rm. Valcea

Clasa a VI-a  

1) Determinati numerele intregi pare care sunt de forma   si indeplinesc simultan conditiile:
	      i) ; ii) ; iii) au 32 divizori fiecare.
							Ilarie Lazar, profesor, Ploiesti
2) Aflati numerele prime care verifica relatiile: a) m2 + n2 = 1706; b) x2 + y2 = 3842.
							Leon Genoiu, profesor, Rm. Valcea
3) Fie triunghiul ABC (), unde perpendiculara in C pe BC intersecteaza AB in D si G este mijlocul segmentului AC. 
	       a) Aratati ca , unde 	; b) Aflati distanta de la D la dreapta BG, precum si valoarea raportului , daca  = 60o, iar BC = a.
								Constantin Dragomir, profesor, Pitesti
4) De aceeasi parte a semidreptei [OA se considera punctele B, C, D cu ,  = 15o, iar . Bisectoarea unghiului AOC intersecteaza pe AC in N, iar pe BD in P. Fie Q intersectia dreptelor AC si BD.
a) Aratati ca distanta de la O la dreapta BD este ; b) Demonstrati ca triunghiul PNQ este dreptunghic isoscel.
						Gheorghe Radu, profesor, Rm. Valcea

Clasa a VII-a  

1) a) Daca , atunci ,  si 
	sunt patrate perfecte; b) Daca a, b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi si p este semiperimetrul sau, atunci exista inegalitatea: .
								Mucenic Ionescu, profesor, Pitesti
	2) Determinati numarul intregilor n, cu , astfel incat .
								Maria Ignat, profesoara, Craiova
	3) a) Fie M  si P, Q, R intersectiile semidreptelor [AM, [BM, respectiv [CM cu (BC), (AC), respectiv (AB). Aratati ca suma  este constanta; b) Fie ABCD un patrulater convex de arie S. Consideram M (AB), N (BC), P (CD), Q (DA). Aratati ca minim una dintre ariile triunghiurilor AQM, BMN, CNP, DPQ este mai mica sau egala decat  .  
						Mariana si Constantin Saraolu, profesori, Rm. Valcea
4) In triunghiul echilateral ABC se considera M un punct interior si fie P, Q, R proiectiile lui M pe (AB), (BC), respectiv (AC). Aratati ca: a) Suma distantelor de la M la laturi este constanta; 
b) Suma AP + BQ + CR este constanta; c) Raportul este constant, unde M apartine inaltimii din A si AM  PR = {T}.
				Ion Jan Zamfir, profesor, Rm. Valcea
	    Clasa a VIII-a  

1) a) Sa se rezolve sistemul: , unde a, b,c R, ; 
	b) Sa se reprezinte grafic functia f: A R, f(x) = [x] ? 1, unde A = .
							Nicolae Seimeanu, profesor, Timisoara
2) Sa se arate ca: 
a) exista numere naturale distincte si nenule x, y, z, t, u si v astfel incat x2 + y2 + z2 + t2 + u2 = v2 
		b) Exista o infinitate de numere naturale distincte care verifica egalitatea de la punctul a).
							Artur Balauca, porfesor, Botosani
3) Sa se determine cel mai mic numar natural care admite o scriere de forma: , unde a, b, c, d, e, f sunt numere naturale distincte.
							Liviu Ignat, profesor, Rm. Valcea
4) Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D”. Din A se duc perpendicularele pe A’B, A’C si A’D care intersecteaza pe A’B’ in M, A’C’ in V si A’D’ in P.
       Sa se arate ca: a) punctele M, N, P sunt coliniare; b) PE, MF, AN si A’C sunt concurente, unde E si F sunt respectiv picioarele perpendicularelor din A pe A’B si A’D; c) .
								Nicolae Serban, profesor, Rm. Valcea

	PROBA  COLECTIVA
	Clasa a V-a   
 
1) Sa se arate ca fractia  este ireductibila pentru orice n numar natural impar.
2) Un numar de zece cifre are 9 cifre egale cu 7. Demonstrati ca el nu poate fi patrat perfect.
								Cristinel Mortici, profesor, Targoviste
3) Patru mere cantaresc cat 5 pere, 3 pere cantaresc cat 7 piersici, iar 5 piersici cantaresc cat 8 nuci. Daca pe un taler al unei balante asezam 3 mere, cate nuci trebuie sa asezam pe celalalt taler pentru ca balanta sa fie in echilibru?
			Maria Radu, invatatoare, Rm. Valcea, Constantin Magureanu, profesor, Slatina 

Clasa a VI-a

1) Aflati n intreg astfel incat  Z.  
					Gheorghe Iacob, profesor, Rm. Valcea
2) Sa se arate ca intr-un triunghi ABC latura AC, bisectoarea unghiului B si mediatoarea laturii BC sunt concurente intr-un punct P daca si numai daca .
3) Fie a, b, c Z astfel incat a(a ? 1) = b + c, b(b ? 1) = a + c; c(c ? 1) = a + b. 
Aratati ca  N.

Clasa a VII-a

1) a) Aratati ca 1 + 22 + 33 + … + 10001000 < 210010; b) Daca dintre 3 numere rationale suma oricaror doua este mai mare decat al treilea, atunci dovediti ca numerele sunt strict pozitive.
2) In triunghiul ABC ( 90o, fei M mijlocul laturii BC. Mediatoarea laturii BC intersecteaza AC in N, astfel incat . Daca AB = a, sa se afle .
							Emil Mitrache, profesor, Rm. Valcea
3) Fie ABCD un patrulater convex si E, F, G, H simetricele punctelor A, B, C, respectiv D fata de D, A, B, respectiv C. Stiind ca aria patrulaterului EFGH este 100 m2, aflati aria patrulaterului ABCD.
							Constantin Popescu, profesor, Rm. Valcea

Clasa a VIII-a

	1) Fie f: R R cu proprietatea ca oricare ar fi x  R, avem 2f(x) + 3f(1 ? x) = 4f(0) ? x si g: R R , g(x) = x. Aratati ca Gf Gg = 
2) In ortocentrul H al triunghiului ascutitunghic ABC se ridica perpendiculara d pe planul sau.
	      Aratati ca: a) exista O  d, astfel incat ; b) daca O  d si , atunci ;  c) (AB2 + BC2 + CA2) > HA2 + HB2 + HC2.
4) Aratati ca numerele  si  nu sunt intregi.



