Sumerian


Civilizaţia Sumeriană a înflorit cu 4.000 ani î.C. în fertila câmpie dintre Tigru şi Eufrat. Era o civilizaţie avansată care construia oraşe şi sisteme de irigaţie, care a realizat un sistem legislativ, care avea un sistem administrativ performant şi chiar un serviciu poştal. 
Cu peste 3.500 ani î.C., sumerienii scriau pe tăbliţe de lut. Obiecte diferite erau reprezentate prin simboluri diferite, iar numărul acestora era era prezentat prin repetiţie. 
Prin anul 3.200 î.C. Sumerul este cucerit de akkadieni. Cele două civilizaţii îşi unesc cunoştinţele în toate domeniile. 
Acest sistem avea două mari inconveniente. În primul rând, pentru fiecare obiect trebuia să existe un simbol caracteristic, simboluri care - evident - trebuia memorate. Al doilea inconvenient era legat de reprezentarea cantităţii. Pentru a reprezenta trei butoaie de ulei se repeta de trei ori simbolul acestuia. Dar dacă numărul acestora este mai mare, scrierea nu mai este aşa de simplă şi poate conduce la erori. Dezvoltarea economică a impus crearea unui alt sistem de reprezentare. 
Prima mare inovaţie după inventarea scrisului a fost abstractizarea numărului de obiecte de acelaşi fel. Astfel, trei butoaie cu ulei erau reprezentate prin simbolul pentru trei urmat de simbolul pentru butoi cu ulei. La fel se puteau reprezenta 3 oi, 3 vaci, în general 3 obiecte de acelaşi fel. Un astfel de sistem este metrologic (aşa cum scriem 3 kg, 3 h, 3 m). Astfel, simbolul pentru "trei" nu este în totalitate abstract, dar a reprezentat un salt uriaş în dezvoltarea reprezentării numerelor şi a calculului. 
Sumerienii foloseau 60 de simboluri numerice, dar nu pentru orice fel de numere. Astfel, aveau un set de simboluri (o tablă) pentru numărarea obiectelor discrete (cum ar fi oi, butoaie etc.) şi o altă tablă pentru calcularea ariilor sau volumelor.
Pentru a număra obiectele discrete (de ex. oi, capre, peşti) simbolul pentru un singur obiect era un mic con. Zece conuri erau înlocuite printr-un cerc mic. Şase cercuri mici se înlocuiau printr-un con mare. Zece conuri mari erau reprezentate printr-un con mare cu un cerc mic în interior. Şase conuri mari se înlocuiau printr-un cerc mare. În fine, 10 cercuri mari erau reprezentate printr-un cerc mare în interiorul căruia era plasat un cerc mic. Astfel, ultima unitate număra 10 · 6 · 10 · 6 · 10 = 36.000 obiecte.

10

6

10

6

10


¬

¬

¬

¬

¬

Scrierea pe tăbliţele de lut se putea face foarte uşor: cercul era creat prin apăsarea verticală a unui cui, conul prin aplicarea oblică a cuiului pe tăbliţă. 
Sumerienii foloseau şi un sistem bisexagesimal în care factorii de multiplicare erau 10, 6, 2, 10 şi 6, astfel că simbol pentru cantitatea cea mai mare (un cerc mare cu două cercuri mici interioare) avea valoarea de  6 · 10 · 2 · 6 · 10 = 7.200 unităţi de bază.
Un alt sistem era folosit pentru măsurarea grânelor. În acest sistem, factorii de multiplicare erau 5, 10, 3, şi 10, astfel încât unitatea cea mai mare (un con mare cu un cerc mic în interior) avea valoarea de  10 · 3 · 10 · 5 = 1.500 unităţi de bază. 
Astfel, acelaşi semn putea fi folosit în diferite sisteme, valoarea sa depinzând de sistemul respectiv. De exemplu, cercul mic putea însemna 6, 10 or 18 conuri mici. 
Treptat, în decursul mileniului 3 î.C., aceste semne au fost înlocuite de echivalentul lor cuneiform. 
Pe la sfârşitul mileniului 3 î.C. a fost introdus sistemul de numeraţie sexagesimal poziţional. Numărul de simboluri a fost redus la două: , derivat din conul mic, şi derivat din cercul mic, care avea valoarea de 10 unităţi de bază. Sistemul arăta acum astfel: 


10

6

10

6

10

...

¬

¬

¬

¬

¬

şi putea continua indefinit. Apare totuşi un inconvenient: simbolul poate reprezenta 1, 60 (6 · 10), 3.600 (60 · 60) etc. unităţi de bază, valoarea sa depinzând de poziţia pe care o ocupă.
Sistemul sexagesimal poziţional a uşurat foarte mult efectuarea calculelor, numai că el era folosit exclusiv la efectuarea calculelor. Rezultatele obţinute erau apoi transformate în vechile sisteme metrologice. 










Babilonian


Civilizaţia babiloniană a înlocuit-o pe cea sumeriană începând cu 2.000 î.C.. Babilonienii au moştenit cunoştinţele pe care le aveau sumerienii şi akadienii. Deşi au împrumutat scrierea numerelor şi baza de numeraţie de la aceştia, sistemul de numeraţie a evoluat devenind poziţional.
Babilonienii stabiliseră unităţi de măsură pentru lungime, masă şi volum, timp (împărţiseră ziua în 24 de ore, ora în 60 de minute şi minutul în 60 de secunde), creaseră un calendar foloseau împărţirea cercului în 360 de grade. Babilonienii aveau cunoştinţe astronomice avansate, putând să prevadă eclipsele de soare şi de lună. Foloseau fracţiile, pătratul unui număr, rădăcina pătrată.
Au inventat  un sistem de scriere poziţional cu baza 60. Aveau un semn pentru unu , care repetat dădea doi , trei  şi aşa mai departe, până la zece, pentru care exista un alt semn . Combinând semnele reprezentând pe  unu şi pe zece se obţin 11, 12, ..., 59. Pentru şaizeci se folosea acelaşi semn ca pentru unu, dar valoarea sa era dată de coloana în care se găsea. Se putea continua având posibilitatea reprezentării oricărui număr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10




















11
12
13
14
15
16
17
18
19
20




















30
40
50
60
















Pentru a scrie numere mai mari decât 60, mesopotamienii foloseau aceste reprezentări în sensul actual de cifră.
Numărul
Trecerea în baza 10 
1 15

1·601+15·600=60+15=75
1 40

1·601+40·600=60+4=100
16 43

16·601+43·600=960+43=1.003
44 26 40

44·602+26·601+40·600=158.400+1.560+40=160.000
1 24 51 10

1·603+24·602+51·601+10·600=216.000+86.400+3.060=305.470
Sistemul avea un inconvenient: deoarece nu exista reprezentare pentru cifra 0, mesopotamienii în locul acesteia lăsau un loc liber. Dar nu totdeauna !. Astfel, nu este clar dacă înseamnă 2, 61, 3601 sau 3660. Totuşi, în practică cifra 0 în sexagesimal apare destul de rar. Mai târziu, când astronomii au avut nevoie de foarte multe calcule, au introdus un semn special pentru a înlocui spaţiul (cifra 0).
Scrierea poziţională permite reprezentarea uşoară a fracţiilor. Pentru separarea părţii întregi de cea zecimală noi folosim virgula zecimală, anglo-saxonii punctul zecimal. Mesopotamienii nu foloseau nimic. Stabilirea faptului că un număr este întreg sau zecimal se făcea "prin inspecţie". De exemplu, poate însemna 16.000 sau 1/81.
Pentru unele fracţii uzuale, mesopotamienii foloseau notaţii speciale:

1/2

1/3

2/3

5/6
Fiind poziţional, sistemul este uşor de folosit deoarece utilizează acelaşi semn pe diferite locuri, valoarea sa intrinsecă rămânând aceeaşi, dar valoarea efectivă depinzând de poziţia pe care o ocupă.
Nu au fost descoperite table pentru adunare sau scădere. Se presupune că scribii învăţau să adune şi să scadă odată cu învăţarea cititului şi scrisului, aşa că tablele pentru adunare şi scădere nu-şi aveau rostul. În schimb, există o mulţime de table de multiplicare. Pe la 2.300 î.C. au inventat  abacul şi au creat metode pentru adunarea, scădere, înmulţire şi împărţire. 
Babilonienii au creat table pentru înmulţire sub două forme: table simple şi table combinate. Tablele simple conţin produsele unui singur număr, numit număr principal (de ex. 5, 10). Deoarece baza de numeraţie este 60, s-ar părea că tabla trebuia să conţină 58 de linii (de la 2 la 59). În realitate, tablele conţineau liniile cu produsele de la 2 la 20, apoi cu 30, 40 şi 50. Dacă se dorea produsul cu 39 (de ex.) se adunau multiplul lui 30 cu multiplul lui 9. Uneori tablele se încheiau cu pătratul numărului principal. Tablele combinate conţin mai multe numere principale, fiind de fapt, formate din mai multe table simple (de ex. cu 12-30, cu 44-26-40). Aproape toate tablele care apar în table combinate se găsesc şi separat, ca table simple.
Pentru a putea calcula mai uşor un produs foloseau formula: 
ab = [(a + b)2 – a2 – b2]/2 
sau o formulă chiar mai eficientă: 
ab = [(a + b)2 – (a – b)2]/4
A fost descoperită o tablă a pătratelor numerelor până la 59 şi una a cuburilor până la 32.
Nu există table pentru împărţire, în schimb a fost creată o tablă de inverse. Inversul numărului n este fracţia 1/n. În loc să împartă un număr la n, babilonienii îl înmulţeau cu cu inversul lui n. Ca şi în sistemul nostru de numeraţie, şi în sistemul babilonian existau fracţii sexagesimale infinite. Evident, singurele inverse care erau fracţii sexagesimale finite erau cele care nu conţineau alţi factori afară de puteri ale lui 2, 3 şi 5. 
Mai există şi câteva table pentru rădăcina pătrată şi cubică. Există şi table pentru rezolvarea unor probleme financiare. În fine, au fost găsite şi câteva table de conversie pentru unităţi de măsură. Există o tablă de corespondenţă între lungimea diagonalei şi latura pătratului. 
Matematica babilonienilor se ocupa de lucruri practice, în special de calcule. Nu se punea problema unei demonstraţii. Interesul pentru studiul geometriei era, de asemenea, minor. Deşi foloseau construcţii geometrice, problemele conduceau la calcule aritmetice. Problemele erau formulate cu date concrete, din viaţa de zi cu zi. Elevilor li se cerea să afle lungimi de canale, masa unor stânci, aria unor terenuri, numărul de cărămizi folosite într-o construcţie etc. De obicei se cerea aflarea lungimii laturii sau diagonalei unui pătrat, determinarea ariei sau a volumului. Pe unele tăbliţe erau desenate figuri geometrice standard cum ar  fi pătrat, dreptunghi, triunghi, trapez, cerc etc. Studiul corpurilor geometrice era dominat de calcul de cărămizi şi planuri înclinate, dar apar şi cilindri, trunchiuri de con şi piramide. 
















Egiptean



Egiptul a fost probabil prima civilizaţie în care interesul pentru ştiinţe a fost major. Au excelat în medicină şi matematici aplicate, dar şi în astronomie, mecanică, chimie, fizică, administraţie. Chiar numele de chimie provine de la alchimie, vechiul nume al Egiptului. Civilizaţia Egiptului Antic a atins un înalt nivel încă din cele mai vechi timpuri. Datorită Nilului şi climei, Egiptul avea tot ce-i necesar dezvoltării unei civilizaţii înfloritoare. Egiptul era şi uşor de apărat având o lungă graniţă cu deşertul Sahara, aşa că s beneficiat de perioade lungi de pace, perioade în care societatea s-a dezvoltat rapid.
Cu 3.000 de ani î.C., în Egipt era dezvoltată puternic agricultura pe baza inundaţiilor bianuale ale Nilului. Apa revărsată aducea aluviuni care îmbogăţeau solul; surplusul de apă era dirijat printr-un sistem complicat de canale şi ecluze, astfel ca ea să fie folosită şi în perioadele secetoase. Construirea şi întreţinerea unui astfel de sistem de irigaţii a necesitat importante cunoştinţe de geometrie, mecanică, hidraulică. Cunoaşterea cu precizie a perioadelor din an în care se produceau inundaţiile era de maximă importanţă. Problema a fost rezolvată de cunoştinţele avansate de astronomie care le-a permis realizarea unui calendar foarte precis. Teritoriul pe care se întindea Egiptul fiind vast, era nevoie de un sistem administrativ eficient. Pentru calcularea taxelor şi repartizarea sumelor colectate pentru construcţii, armată ş.a. era nevoie de cunoştinţe de aritmetică.  Din 3.000 î.C. a început construcţia piramidelor; astfel marea piramidă de la Ghiza a fost construită prin 2.650 î.C. Construcţia piramidelor necesita vaste cunoştinţe şi imense resurse materiale.
În acea perioadă, Egiptenii aveau pus la punct sistemul de scriere hieroglific. Sistemul de numeraţie folosit nu era foarte bun pentru realizarea calculelor aritmetice. Operaţiile aritmetice, aşa cum le cunoaştem azi, erau foarte greu de realizat: adunarea şi scăderea se puteau efectua relativ uşor; înmulţirea şi împărţirea erau de-a dreptul imposibile. Totuşi, egiptenii au dezvoltat metode remarcabile pentru a trece peste acest neajuns.
La început, numerele erau sculptate în piatră pentru a comunica diferite mărimi. Deoarece nu era nevoie să se opereze mult cu ele, pentru cifre nu existau hieroglife speciale. Din momentul în care s-a trecut la utilizarea papirusului pentru scriere, a apărut necesitatea dezvoltării unor mijloace mai rapide de scriere, a apărut necesitatea creării unor hieroglife pentru scrierea numerelor.
Papirusurile descoperite arată că egiptenii, spre deosebire de greci care s-au preocupat de studiul matematicii abstracte, erau legaţi de rezolvarea unor probleme de aritmetică legate exclusiv de practică.
Sistemul de numeraţie folosit de ei era zecimal şi poziţional, dar nu în accepţia actuală. "Cifrele" folosite se obţineau prin compunerea a şapte simboluri de bază:

1
 un băţ de măsurat

10
 un val

100
 sfoara de măsurat

1.000
 floarea de lotus

10.000
 degetul arătător

100.000
 o broască

1.000.000
 un zeu cu mâinile ridicate deasupra capului
Scrierea se făcea în ordinea crescătoare a valorii. Iată câteva exemple:
3.244 =









4
40
200
3.000

21.237 =
   








7
30
200
1.000
20.000
dar se putea scrie şi pe verticală:
200


4.000

70



600


6


20


276

4





4.624
Deoarece se foloseau semne diferite pentru unităţi, zeci, sute, mii, ..., nu are importanţă ordinea scrierii. Nu era nevoie nici de simbol pentru zero.

Efectuarea unei înmulţiri era destul de complicată. Să considerăm produsul 41 · 59. Construim o tablă astfel: rândul 1 al doilea factor, 59, pe rândurile următoare se scrie dublul rândului precedent până când multiplicatorul devine mai mare ca primul factor, în cazul nostru până la 32 < 41 < 64:
multiplicator
valoare

multiplicator
valoare

1
59
Ö
1
41
Ö
2
118

2
82
Ö
4
236

4
164

8
472
Ö
8
328
Ö
16
944

16
656
Ö
32
1.888
Ö
32
1.312
Ö







2.419


2.419

Apoi efectuăm o serie de scăderi: 41 – 32 = 9; 9 – 8 = 1; 1 – 1 = 0 şi scriem 41 = 32 + 8 + 1. Selectăm multiplii corespunzători şi sumăm.
Putem să schimbăm ordinea factorilor, 59 · 41. Avem 59 – 32 = 27; 27 – 16 = 11; 11 – 8 = 3; 3 – 2 = 1;
1 – 1 = 0. şi scriem suma multiplilor 59 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1.
Metoda folosită se bazează pe teorema care spune că orice număr poate fi scris ca o sumă a puterilor lui 2. Egiptenii nu aveau o dovadă în acest sens şi nici nu-i interesa s-o obţină. Ştiau că metoda este bună şi o aplicau. Pur şi simplu! Totuşi, noi ne putem permite să scriem:
41 = 1·20 + 0·21 + 0·22 + 1·23 + 0·24 + 1·25,
respectiv:
59 = 1·20 + 1·21 + 0·22 + 1·23 + 1·24 + 1·25.

Împărţirea se realiza tot prin dublare. Să luăm, de exemplu, numărul 1.495 şi să-l împărţim la 65. Construim un tabel ca la înmulţire:
multiplicator
valoare

1
65
Ö
2
130
Ö
4
260
Ö
8
520

16
1.040
Ö




1.495

şi ne oprim în momentul în care valoarea din tabel devine mai mare decât deîmpărţitul, adică la 1.040 < 1.495 < 2.080. Avem: 1.495 – 1.040 = 455; 455 – 260 = 195; 195 –130 = 65, 65 – 65 = 0, deci: 1.495 = 1.040 + 260 + 130 + 65.
Adunăm multiplicatori corespunzători:  1 + 2 + 4 + 16 = 23. Acesta este câtul împărţirii 1.495 : 65.
În exemplul de mai sus, 1.495 se divide cu 65. Cum se calculează în cazul în care deîmpărţitul nu se divide cu împărţitorul? Să considerăm împărţirea 1.500 : 65. Construim tabelul:
multiplicator
valoare

1
65
Ö
2
130
Ö
4
260
Ö
8
520

16
1.040
Ö




1.495

Şi de data aceasta ne oprim în momentul în care valoarea din tabel devine mai mare decât deîmpărţitul, adică la 1.040 < 1.500 < 2.080. Adunăm valorile n pentru care avem: 1.500 – 65 < n  1.500:
1.040 + 260 + 130 + 65 = 1.465
Diferenţa 1.500 – 1.465 = 5 reprezintă restul împărţirii.
Sumăm multiplicatorii corespunzători: 1 + 2 + 4 + 16 = 23. Acesta este câtul împărţirii. Atunci se poate scrie:
1.500 : 65 = 23 + 5/65 = 23 1/13

Egiptenii foloseau numai fracţii cu numărătorul 1, cu excepţia a două fracţii mai des folosite: 2/3 şi 3/4. Iată câteva exemple:
















1/3

1/25

1/269
Următoarea problemă pe care ne-o punem este cum se efectuează înmulţirea şi împărţirea cu fracţii. Să luăm ca împărţitor fracţia 1/5. Am fi tentaţi să procedăm ca mai sus, prin dublarea acesteia: 1/5 + 1/5. Din motive pe care nu le discutăm, egiptenii, în loc să efectueze acest calcul ar fi adunat 1/3 + 1/15. Papirusul Rhind conţine o tablă care permitea dublarea unor fracţii de tipul 1/n, pentru 5 < n < 101 impar, cu numărătorul 1. Iată începutul acestei table:
Fracţia
de dublat
Fracţiile
care dublează
1/5
1/3 + 1/15
1/7
1/4 + 1/28
1/9
1/6 + 1/18
1/11
1/6 + 1/66
1/13
1/10 + 1/26 + 1/65
1/15
1/10 + 1/30
1/17
1/12 + 1/51 + 1/68
. . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Este remarcabil de observat că papirusul nu conţine erori (apr câteva din copiere), că termenii descompunerii sunt fracţii cu numitori apropiaţi ca valoare şi că niciodată nu sunt mai mulţi de 4.
Cum rezolvau egiptenii ecuaţia: 2/3 + 1/15 + x = 1 ?
Se multiplică cu 15: 10 + 1 + y = 15. Aceasta era numită auxiliar roşu, deoarece scribul folosea cerneală roşie la scrierea ei. Soluţia ei este, evident, 4.
Pentru a obţine soluţia ecuaţiei iniţiale scriem:
dublu ´ (dublu ´ 1/15)
Din tabla de mai sus observăm că dublu ´ 1/15 este suma 1/10 + 1/30, pe care dublând-o se obţine 1/5 + 1/15, care este soluţia ecuaţiei date.
Iată şi o problemă: O cantitate adăugată la un sfert din cantitate dă 15. Cât este cantitatea ?
Problema se transcrie în limbaj modern astfel:
x + x / 4 = 15
Presupunem că x ar fi egal cu 4. Atunci x + x / 4 = 5, ceea ce nu este corect. Dar 15 este de 3 ori 5. Aşa că presupunerea trebuie multiplicată cu 3. Deci, răspunsul corect este x = 12.
Mai multe probleme din papirusul Rhind folosesc în rezolvare metoda falsei ipoteze (aplicată mai sus).
Cum procedau egiptenii pentru a rezolva calculul: (1 + 1/3 + 1/5) · (30 + 1/3) ?  Foloseau metoda dublării:
1
1 + 1/3 + 1/5

2
2 + 2/3 + 1/3 + 1/15 = 3 + 1/15
Ö
4
6 + 1/10 + 1/30
Ö
8
12 + 1/5 + 1/15
Ö
16
24 + 1/3 + 1/15 + 1/10 + 1/30
Ö
2/3
 2/3 + 1/6 + 1/18 + 1/10 + 1/30

1/3
 1/3 + 1/12 + 1/36 + 1/20 + 1/60
Ö
Penultima linie din tabel s-a obţinut astfel:
2/3 din 1 este 2/3;
2/3 din 1/3 este dublul lui 1/9 care este 1/6 + 1/18;
2/3 din 1/5 este dublul lui 1/15 care este 1/10 + 1/30.
Acum trebuie găsite numerele din prima coloană care însumate dau 30+1/3. Rezultatul se obţine sumând valorile din a doua coloană. Acesta este:
46 + 1/5 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/30 + 1/36.
O altă problemă din papirusul Rhind: Un teren rotund are diametrul de 9 khet. Ce arie are ? 
Soluţia prezentată în papirus este următoarea:
Se află 1/9 din diametru, adică 1; restul este 8. Înmulţind 8 cu 8 ne dă 64. Aşa că terenul are 64 setat. 
1
9
1/9
1
  
1
9
2
16
4
32
8
64
De observat că soluţia este echivalentă cu p = 4(8/9)2 = 3.1605. Calculând acum, obţinem »3.160493 care diferă de rezultatul obţinut de egipteni decât la a 4-a zecimală. Este un lucru remarcabil dacă ţinem cont de perioada în care a fost obţinut.

În papirusul din Moscova este prezentată următoarea problemă, ilustrată în figura alăturată:
Problema cere să se calculeze un trunchi de piramidă pornind de la următoarele date: baza mare este un pătrat cu latura de 4 cubit, baza mică este un pătrat cu latura de 2 cubit şi distanţa dintre baze este de 6 cubit.
În primul rând trebuie remarcat că prin să se calculeze un trunchi de piramidă se înţelege să se calculeze volumul unui trunchi de piramidă.

Calculul începe cu aflarea ariei bazei mari: 4 · 4 = 16. 
Se calculează apoi aria bazei mici: 2 · 2 = 4.
Se înmulţesc latura bazei mari cu latura bazei mici: 4 · 2 = 8.
Se adună rezultatele: 16 + 4 + 8 = 28.
Se calculează 1/3 din înălţime, adică: 2.
În final, se înmulţeşte ultimul rezultat cu suma calculată anterior şi se obţine 56.
Această problemă arată că egiptenii ştiau formula volumului trunchiului de piramidă. Astfel, luând a latura bazei mari, b latura bazei mici şi h înălţimea, formula s-ar traduce în limbaj modern:
V = h/3 · (a2 + ab + b2)

După inventarea scrierii pe papirus, egiptenii au creat "cifrele" hieratice. Cu ajutorul lor, numerele puteau fi scrise într-o manieră mult mai compactă. În noua scriere existau simboluri pentru 1,.., 9; 10, ..., 90; 100, ..., 900; 1.000, ..., 9.000.
De exemplu, numărul 9.999 se scria acum cu 4 hieroglife în loc de 36.
Iată un exemplu:

Cele două sisteme de scriere au coexistat mai bine de 2.000 de ani. Cel hieratic era folosit pentru scrierea pe papirus, cel obişnuit continuând să se utilizeze pentru inscripţii cioplite în piatră.

Grecesc






Până prin secolul 3 î.C., aproape fiecare republică grecească folosea un alt sistem de notare a numerelor. Apoi, schimburile comerciale tot mai intense au dus la adoptarea unui sistem de notare preluat de la fenicieni. Totuşi, diferenţele între sistemele de numeraţie nu erau majore, principalul lor rol fiind legat de tranzacţiile economice.
Primul de care ne vom ocupa este sistemul acrofonic folosit în mileniul 1 î.C. (Acrofonic înseamnă că notaţia unui număr se face prin prima literă a numelui său). Sistemul mai este cunoscut şi sub numele de Attica, după regiunea din jurul Atenei în care a fost folosit. Principalele simboluri folosite erau:
Numele
literei
Simbolul
literei
Numele
numărului
Valoarea
Iota
I




 (iota)
1
Pi
G





 (penta)
5
Delta
D




 (deka)
10
Eta
H







 (hekaton)
100
Chi
C






 (chilioi)
1.000
Mu
M






 (myrioi)
10.000
În afară de caracterul I - care este o abreviere - simbol întâlnit în aproape toate sistemele pentru notarea numărului (cifrei) unu, celelalte simboluri derivă din fonograme. De exemplu, simbol G este o versiune mai veche a lui P (pi), prima literă a cuvântului Penta (penta), care înseamnă cinci. La fel, simbolul D este delta, prima literă a cuvântului Deka (deca), ce înseamnă zece; simbolul H este eta, prima literă a cuvântului Hekaton (hecaton), ce înseamnă o sută.
Ca şi cel egiptean sau cel roman, primul sistem de numeraţie grecesc este unul aditiv. De exemplu, pentru a afla numărul:
DDGIII
se adună valorile individuale:
DDGIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 28
De observat că nu are importanţă ordinea în care sunt scrise simboluri din alcătuirea numărului. Totuşi, era preferată scrierea simbolurilor în ordine descrescătoare a valorii acestora.
Pentru reprezentarea unor numere (mai ales a celor mari), este nevoie de foarte multe simboluri. De ex., pentru a scrie 9.999 se folosesc 32 de simboluri:
CCCCCCCCCHHHHHHHHHDDDDDDDDDGIIII
Nu este surprinzător că apare un simbol pentru 5 de vreme ce baza de numeraţie folosită este 10, provenind de la cele 10 degete, căci la o mână avem 5 degete. Este însă interesant că vechii greci aveau simboluri pentru 50, 500, 5.000 şi 50.000, simboluri care proveneau din combinaţia simbolului pentru 5 cu simbolurile pentru 10, 100, 1.000, 10.000:
Simbolul
literei
Valoarea

50

500

5.000

50.000
Aşa cum am spus şi mai înainte, existau diferenţe între reprezentările caracterelor în diferite state. Iată câteva pentru 50:

Pentru vechii greci numărul nu era o noţiune abstractă, era legat de obiectele pe care le număra. Astfel, pentru a preciza o sumă de 5.678 de drahme ei scriau:

în care se observă că simbolul unităţilor este caracteristic pentru drahmă.
Ca să reprezinte 3.807, taleri scriau:

Se observă că pentru unităţi se foloseşte simbolul T de la Taler.
Suma de 3.807 drahme şi 5 oboli (1 obol = 1/6 drahme) era reprezentată astfel:


Cel de-al doilea sistem de care ne ocupăm, folosit de vechii greci, este sistemul  alfabetic. În acest sistem numerele sunt reprezentate prin literele alfabetului. Acest mod de reprezentare a fost copiat de la fenicieni. De fapt, şi alfabetul pentru scrierea cuvintelor fusese copiat de la ei. 
Grecii aveau 24 de litere în alfabet. Au mai adăugat 3 litere scoase din uz (simbolurile pentru 6, 90 şi 900: digamma, koppa şi sampi):
1
A 
a
(alpha)
10
I
i
(iota)
100
R
r
(rho)
2
B 
b
(beta)
20
K
k
(kappa)
200
S
s
(sigma)
3
G 
g
(gamma)
30
L
l
(lambda)
300
T
t
(tau)
4
D 
d
(delta)
40
M
m
(mu)
400
U
u
(upsilon)
5
E 
e
(epsilon)
50
N
n
(nu)
500
F
f
(phi)
6


(digamma)
60
X
x
(xi)
600
C
c
(chi)
7
Z 
z
(zeta)
70
O
o
(omicron)
700
Y
y
(psi)
8
H 
h
(eta)
80
P
p
(pi)
800
W
w
(omega)
9
Q 
q
(theta)
90


(koppa)
900


(sampi)
Evident, sistemul este zecimal. Ca şi sistemul acrofonic, cel alfabetic este unul aditiv. De exemplu:
FMB = 500 + 40 + 2 = 542
Uneori, pentru a le deosebi de literele alfabetului, deasupra acestor simboluri se trasa o bară.
Doar cu aceste simboluri puteau fi reprezentate doar numere mai mici ca 1.000. Pentru numerele cuprinse între 1,000 şi 9,999 au fost create simboluri compuse din simbolurile de bază cărora li se ataşa litera i (iota) fie în stânga-sus, fie în stânga-jos:
1.000
iA 
iA 
2.000
iB 
iB 
3.000
iG 
iG 
4.000
iD 
iD 
5.000
iE 
iE 
6.000
i
i
7.000
iZ 
iZ 
8.000
iH 
iH 
9.000
iQ 
iQ 
 Pentru numere mai mari se scria deasupra literei M (de la Miriad) un număr cuprins între 1 şi 9.999, valoarea acestuia multiplicându-se cu 10.000:
b


sla



 = 20.000



 = 3.210.000
De multe ori, în loc să se scrie deasupra literei M, se scria în faţa acesteia:
iZROEMiEWOE = 71.755.875
Acest sistem le permitea grecilor să scrie toate numerele apărute în viaţa de zi cu zi. Numere ca 71.755.875 erau, evident, o raritate, iar numere mai mari nu aveau de unde să apară.
O altă modalitate de a multiplica cu zece mii valoarea unui simbol era scrierea cu două puncte deasupra simbolului respectiv. De exemplu:


Vechii greci foloseau şi fracţii. Notaţia era ambiguă şi determinarea valorii depindea în cea mai mare măsură de context. Un accent plasat după un grup de simboluri numerice transforma grupul în inversul acestuia:
b' = 1/2, iar mg' = 1/43 dar putea să însemne şi: mg' = 401/3. 
Spre deosebire de egipteni, grecii foloseau şi fracţii cu numărător mai mare ca 1:
napd' = 51/84
Se observă că numărătorul este precizat cu suprabarare. 

Înmulţirea se realiza folosind distributivitatea:
spz · b = (s + p + z) · b ® (200 + 80 + 7) · 2 = 400 + 160 + 14 = 500 + 70 + 4 ® fod
Interesant este că vechii greci efectuau împărţirea în acelaşi mod cum o efectuăm şi noi azi.











Roman


Înaintea romanilor, cea mai dezvoltată civilizaţie din peninsula Italică a fost cea a etruscilor. Etruscii au copiat sistemul grecesc de numeraţie acrofonic. Romanii au copiat sistemul de la etrusci şi l-au adaptat alfabetului lor.
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1.000
Sistemul de numeraţie roman nu este un simplu sistem aditiv, ci unul aditiv-subtractiv.
La început, cifrele V, L şi D lipseau.
1
I
un băţ vertical
10
X
două beţe încrucişate
100
C
iniţiala cuvântului centum (100)
1.000
M
iniţiala cuvântului mille (1.000)
Pentru 1.000, romanii foloseau iniţial o altă notaţie: . Pe 10.000 îl notau , iar pe 100.000 cu .
Regulile de scriere (preluate tot de la etrusci) erau:
Orice semn pus la dreapta altuia de valoare mai mare sau egală decât a lui, se adună. 
Exemplu:
XX = 10 + 10 = 20
XII = 10 + 1 + 1 = 12
Orice semn pus la stânga altuia de valoare mai mare decât a lui, se scade. 
Exemplu:
IX = 10 - 1 = 9
IXC = 100 - (10 - 1) = 100 - 9 = 91
XCII = 100 - 10 + 1 + 1 = 100 - 10 + 1 + 1 = 92
Un punct de vedere propriu: Celelalte cifre romane cunoscute au apărut din nevoia de simplificare a scrierii. Interesant este că, spre deosebire de sistemul grecesc, noile simboluri sunt şi din punct de vedere grafic jumătăţi ale unităţilor din care provin. Simbolul X = 10, dacă este tăiat în două pe linia mediană orizontală generează două litere V (din care una răsturnată) având fiecare valoarea 5; în mod analog, tăindu-l pe C = 100 (să nu uităm că forma sa cioplită nu era rotunjită, arătând astfel ) se obţin două litere L (din care una este răsturnată), fiecare cu valoarea 50; tăind pe linia mediană verticală pe , vechiul simbol pentru 1.000, se obţin două simboluri , foarte apropiat de litera D (din care una în oglindă), fiecare având valoarea 500.
Sistemul de numeraţie roman este foarte greu de folosit, în special la scrierea numerelor mari. Ca fapt divers: consemnarea numărului de prizonieri în urma luptei cu cartaginezii, estimat la 2.300.000, s-a făcut prin repetarea semnului de 23 de ori !
Dar chiar în cazul numerelor mici scrierea poate fi destul de complicată. De exemplu, numărul 879:
879 = 800 + 70 + 9 ® DCCCLXXIX
O altă lacună a acestui sistem de numeraţie este ambiguitatea regulilor de scriere. Astfel, numărul 8 poate fi scris fie ca VIII, fie ca IIX.
 În vechiul sistem de numeraţie roman (1.200 î.C.), când au fost introduse formele substractive (ca IV = 4 sau IX = 9), era posibil să se reprezinte orice număr mai mic decât 5.000 cu ajutorul unei serii de simboluri în care oricare nu apărea mai mult de 4 ori. De exemplu, 2.976 = MMDCCCCLXXVI. 
Sistemul aditiv este foarte uşor de folosit în calcule simple. 
Adunarea se face în doi paşi: mai întâi se scriu împreună toate simbolurile din care sunt alcătuite cele două numere, apoi se "colectează" simbolurile de cea mai mică valoare şi se înlocuiesc, dacă este cazul, cu simboluri de valoare superioară: 
2319+

MMCCCXIX
821  

DCCCXXI
3140 

MMDCCCCCCXXXIXI


MMDCCCCCCXXXX


MMDDCXL


MMMCXL
Înmulţirea se face ceva mai greu:
28·

XXVIII




12 

XII




56 

XXVIII
ori
I
egal
XXVIII
28   

XXVIII
ori
I
egal
XXVIII
336 

XXVIII
ori
X
egal
CCLXXX


CCLXXXXXXXVVIIIIII


CCLXXXXXXXVVVI


CCLXXXXXXXXVI


CCLLXXXVI


CCCXXXVI
Scăderea şi împărţirea sunt ceva mai complicate, dar pot fi efectuate.

Zecimal 




Este cel mai răspândit sistem de numeraţie. Cifrele folosite în sistemul zecimal se numesc cifre zecimale. Aşadar, cifrele sistemului zecimal sunt numerele naturale mai mici ca 10 şi se notează în ordine, respectiv cu:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Secvenţa de cifre zecimale 192544, sau mai precis 192544(10) reprezintă numărul natural:
1·105 + 9·104 + 2·103 + 5·102 + 4·101 + 4·100







Abacul



Originea abacului se pierde în negura timpului. La început, tabla abacului era o suprafaţă plană pe care erau trasate linii de-a lungul cărora se puteau mişca o serie de pietre pentru a se executa operaţii aritmetice. Foarte multe civilizaţii au folosit abacul pentru realizarea calculelor aritmetice. În Europa, odată cu răspândirea cifrelor arabe şi cu apariţia hârtiei, majoritatea au renunţat la utilizarea lui. Se ştie că în Italia abacul a dispărut în sec.16. În partea de nord a Europei, din cauza nivelului scăzut de trai şi a conservatorismului, abacul a rămas în uz până în sec.18.
Avem impresia greşită că numai cei din orient au folosit abacul, asta pentru că în Europa a dispărut de foarte multă vreme, pe când în orient mai este folosit şi azi. După înfrângerea lui Napoleon în campania de invadare a Rusiei (1812), unii dintre soldaţi s-au întors în Franţa aducând ca pe o curiozitate abace ruseşti. Nu ştiau că bunicii lor le folosiseră în în treburile lor zilnice! Dar nu numai europenii şi asiaticii au utilizat abacul, conchistadorii au găsit abace la populaţiile de pe actualele teritorii ale Mexicului şi Peruului
În forma sa modernă, abacul a fost inventat de chinezi prin secolul 13, de la care a fost preluat de coreeni (sec.15) şi de japonezi (sec.17). Se ştie că abacul mai era încă folosit acum 250 de ani în unele zone ale Europei.
Mulţi dintre termenii moderni din matematică şi comerţ provin din denumirile legate de abac. De exemplu, romanii denumeau pietrele abacului calculi; de aici provin termenul a calcula şi derivatele sale calcul, calculator. În Anglia, tabla abacului era denumită, în general, counting board sau, mai simplu, counter. Fireşte, fiecare comerciant avea în magazin un counter cu care făcea calculul valorii mărfurilor vândute. De aici provine termenul modern de contor (pl. contoare).
În Europa, abacul a fost standardizat în sec.13: o tablă pe care erau trasate linii care indicau locul de poziţionare a pietrelor de socotit. Linia de jos era linia unităţilor, următoarele linii aveau valoarea de 10 ori mai mare decât a liniei de dedesubt; fiecare spaţiu dintre linii avea valoarea de 5 ori mai mare decât a liniei de dedesubt. Nu puteau fi puse mai mult de 4 pietre pe o linie şi cel mult una pe un spaţiu. Atunci când numărul de pietre de pe o linie ar fi devenit 5, erau scoase de pe linie şi pusă o piatră în spaţiul de deasupra acesteia. Dacă numărul de pietre de pe un spaţiu ar fi devenit 2, erau luate de pe spaţiu şi pusă o piatră pe linia de deasupra spaţiului.
Prin secolul 13 pietrele folosite pentru calcul la abac au căpătat forma de monedă. Aceste piese erau cast, aruncate sau apăsate pe tabla abacului. În Franţa piesele acestea erau numite jetoane din verbul jeter (a arunca).
Abacul chinezesc 
Prin anii 1.500 î.C., chinezii au inventat abacul. Acesta era format dintr-un cadru de lemn cu o bară orizontală care poate culisa pe verticală, împărţindu-l în două compartimente.
Pe verticală sunt fixate mai multe bare (de obicei 17) pe care pot culisa 7 bile: două în partea de sus şi cinci în cea de jos. Fiecare bilă de jos are valoarea 1; fiecare bilă de sus are valoarea de 5. Astfel, pe o bară poate fi reprezentat orice număr cuprins între 1 şi 15. Orice valoare mai mare ca 9 este stocată temporar, ca rezultat intermediar.
În imagine este prezentat un abac chinezesc în care este stocată valoarea 279. 
Abacul japonez 

La abacul japonez, pe fiecare bară verticală erau 4 bile în partea de jos şi una în partea de sus. Probabil că japonezii au adus abacului ultima perfecţionare înainte de desfiinţarea sa. (Abacul din imagine stochează numărul 279) 
Poate că nu-i lipsit de importanţă că în 1946 (!), un funcţionar din administraţia japoneză folosea pentru calcule aritmetice un abac. S-a organizat un concurs între acesta şi un calculator electric cu probe constând în adunarea sau scăderea unor coloane lungi de numere, înmulţirea unor întregi cu 5-12 cifre, împărţirea unor întregi cu 5-12 cifre, rezolvarea unor probleme complexe conţinând toate aceste operaţii. A fost bătut de maşină doar la unele înmulţiri. 















Rezumat


40.000 î.C.
• Însemnări pe lemne şi pe oase despre numărul de piei deţinute, de animale prinse. Obiceiul s-a păstrat încă multă vreme, astfel că ciobanii făceau şi în secolul 20 astfel de însemnări pe răboj. 
20.000 î.C.
• În peşteri s-au descoperit desenate sau cioplite pe pereţi linii folosite probabil la numărare 
9.000 î.C.
• Oamenii au folosit pentru socotit pietricele şi beţigaşe 
4.000 î.C.
• Primul sistem de numeraţie zecimal creat de sumerieni 
3.500 î.C.
• Folosirea tăbliţelor de lut pentru calcule 
3.200 î.C.
• Sistemul zecimal sumerian se uneşte cu sistemul de numeraţie akkadian rezultând un un sistem de numeraţie pseudosexagesimal (60  de semne dar fără scriere poziţională) 
2.700 î.C.
• Egiptenii creează un sistem de numeraţie zecimal 
2.500 î.C.
• Babilonienii, situaţi în sudul Mesopotamiei, preiau cunoştinţele de la sumerieni şi akkadieni şi realizează un adevărat sistem de numeraţie sexagesimal. 

• Semiţii creează un sistem de numeraţie zecimal 
2.350 î.C.
• Sistemul de numeraţie zecimal se răspândeşte în toată Mesopotamia 
2.300 î.C.
• Vechii indieni creează un sistem de numeraţie cu baza 4 
2.000 î.C.
• Invention of the Gurumikhi, an analogical calculator, Hittite and Indusian decimal numeration 
1.900 î.C.
• În Babilon se impune sistemul de numeraţie zecimal 
1.500 î.C.
• Sistemul de numeraţie asirian 

• În Anatolia se foloseşte un sistem de numeraţie cu baza 4 

• Este inventat abacul în zona chinei de azi 
1.000 î.C.
• Sistemul de numeraţie grecesc 
650 î.C.
• Sistemul de numeraţie etrusc 
650 î.C.
• Fenicienii folosesc un sistem de numeraţie cu baza 3 
500 î.C.
• Hinduşii folosesc un sistem de numeraţie zecimal preluat 

• Zapothec and pre-Colombian numeration in base 20 

• Sistemul de numeraţie cu baza 4 în Grecia 

• numeration in base 5 in Yemen 
200 î.C.
• Chinese learned numeration in base 1 and 5 

Sisteme de numeraţie
Generalităţi
Oamenii au ştiut să socotească înainte de a şti să scrie. Se foloseau de degete de însemnări pe beţe sau pe oase, foloseau funia cu noduri, pietricele etc. Dar scrierea şi citirea numerelor permit o evaluare rapidă a cantităţii de obiecte pe care o reprezintă.
Se numeşte sistem de numeraţie totalitatea regulilor de reprezentare a numerelor folosind un anumit set de simboluri distincte, numit alfabet; simbolurile sunt numite cifre.
În sistemele de numeraţie primitive, pentru a reprezenta un număr de 5 oi se desenau prin repetiţie 5 oi. Într-o fază superioară - cea simbolică -, acelaşi lucru era realizat desenându-se o oaie urmată (precedată) de cinci semne (puncte, linii etc.). Aceasta a dus treptat la desprinderea de concret, la apariţia ideii de număr ca noţiune abstractă. 
Baza unui sistem de numeraţie poziţional este dată de numărul de elemente care formează alfabetul sistemului de numeraţie.
De exemplu, sistemul de numeraţie în baza 2 are alfabetul {0,1}; sistemul de numeraţie în baza 16 are alfabetul {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}.
În decursul timpului, în diferite zone ale globului au fost folosite sisteme de numeraţie cu o varietate destul de mare de baze de numeraţie: 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 60. Dar cea mai des folosită a fost baza 10, probabil ca urmare a socotitului pe degete.

Semnele folosite pentru notarea cifrelor sunt destul de variate. Modul lor de grupare pentru reprezentarea unui număr califică un sistem de numeraţie ca nepoziţional (aditiv, multiplicativ) sau poziţional.
Sistemele aditive
În aceste sisteme există semne distincte (cifre) pentru fiecare grup de obiecte folosit în procesul numărării. Sistemul de numeraţie egiptean este un astfel de sistem. Valoarea unui număr se obţine prin adunarea cifrelor după anumite reguli. De exemplu:
21.237 =
   







= 7 + 30 + 200 + 1.000 + 20.000
Sistemul de numeraţie roman este un sistem aditiv-substractiv. Valoarea unui număr se obţine prin adunarea sau scăderea cifrelor după anumite reguli. De exemplu, XI = 11, MMCIII = 2103; IV = 4, IX = 9.
Sistemele multiplicative
Un sistem multiplicativ este acela în care pentru aflarea valorii unui număr este necesar să se înmulţească anumite perechi de simboluri într-o manieră asemănătoare sistemului aditiv (sistemul de numeraţie chinez).
Sistemele poziţionale
În sistemele de numeraţie poziţionale, un simbol din alcătuirea unui număr (cifră) are valoare intrinsecă dar şi o valoare prin poziţia pe care o ocupă în număr. Aceasta implică existenţa unui simbol cu valoare intrinsecă nulă (zero). În unele sisteme poziţionale (babilonian) în care regulile o permit, este posibil să se renunţe la acest simbol. Regulile folosite în aceste sisteme sunt mai complexe decât în cele aditive. Iată cum se scrie un număr în sistemul zecimal poziţional:
40.323 = 4·104 + 0·103 + 3·102 + 2·101 + 3·100
Trebuie remarcat că cifra 3 apare de două ori în scrierea numărului. Când se află pe ultimul loc, reprezintă trei obiecte; când se află pe antepenultimul loc, reprezintă trei sute de obiecte.
Sistemele de numeraţie poziţionale folosesc acelaşi sistem de reguli de reprezentare a numerelor; ele diferă doar prin alfabetul pe care îl utilizează şi, implicit, prin bază.
Sisteme de numeraţie poziţionale
Din cele mai vechi timpuri, s-a pus problema găsirii unor procedee de scriere a numerelor naturale care să permită o rapidă a ordinului lor de mărime şi elaborarea unor reguli eficiente de efectuare a operaţiilor cu acestea. Adoptarea sistemului de numeraţie zecimal s-a încheiat abia în secolele 16-17 şi reprezintă o etapă importantă în dezvoltarea matematicii.
Un sistem de numeraţie este un ansamblu de reguli prin care valorile numerice pot fi scrise prin intermediul simbolurilor, denumite numere.
Relaţia de ordine introdusă pe mulţimeapermite aranjarea numerelor naturale într-un şir crescător:
0 < 1 < 2 < ... < n < n – 1 < ...
Fie u un număr natural mai mare ca 1. Reprezentarea numerelor naturale în sistemul de numeraţie de bază u se fundamentează pe câteva rezultate care sunt prezentate în continuare:
Lema 1 Fie u > 1 un număr natural. Oricare ar fi numărul natural a > 0, există numerele naturale n, q0, q1, ..., qn Îastfel încât:
a = uq0 + a0,
0a0 < u,
q0 = uq1 + a1,
0a1 < u,
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
qn–2 = uqn–1 + an–-1,
0an–1 < u,
qn–1 = qn
0an < u,

unde s-a notat cu n – 1 numărul v Î, astfel încât v – 1 = n şi cu n – 2 numărul w Î, astfel încât w – 1 = v.
Demonstraţie
Dacă a < u, luăm n = 0, q0 = 0, a0 = a şi lema este adevărată.
Dacă a0, fie q0,  a0 Î, astfel încât:
a = uq0 + a0,
0a0 < u,
Cum a0, avem q0 > 0. Există q1,  a1 Î, astfel încât:
a0 = uq1 + a1,
0a1 < u,
Dacă q1 = 0, lema este adevărată, cu n = 1. Astfel, există q2,  a2 Î, astfel încât:
a1 = uq2 + a2,
0a2 < u,
şi aşa mai departe.
Dacă qi ą 0, din 1 < u deducem qi < uqiuqi + ai = qi–1, deci:
a > q0 > q1 > ... > qi–1 > qi > ...
Există n astfel încât qn–1 ą 0 şi qn = 0. Într-adevăr, fie A = {qi|qi ą 0} şi b cel mai mic număr din A. Există n astfel încât b = qn–1. Cum qn < qn–1 = b, rezultă că qn–1 Î A, deci qn = 0. Aşadar, 0 < qn–1 = an < u.
 
Lema 2 Fie u, a0, a1, ..., an Îastfel încât u > 1, 0 ai < u pentru 0 i n. Atunci:

Demonstraţie
Inducţie după n. Dacă n = 0, atunci a0 < u. Presupunând afirmaţia adevărată pentru n, atunci:

Teoremă Fie u > 1 un număr natural. Atunci oricare ar fi numărul natural a > 0, există n, a0, a1, ..., an Î unic determinate, astfel încât:
a = anun + an–1un–1 + ... + a1u1 + a0u0,
unde 0 < an < u şi 0 ai < u pentru 0 i n – 1. 
Demonstraţie
Sumăm egalităţile din enunţul lemei 1 înmulţite, respectiv, cu 1, u, u2, ...,  un:
a = anun + an–1un–1 + ... + a1u1 + a0u0,
Fie, de asemenea, numerele naturale m, bm, bm–1, ..., b0 astfel încât
a = bmum + mm–1um–1 + ... + b1u1 + b0u0,
unde: 0 < bm < u şi 0 bi < u pentru 0 i m.
Dacă n < m, atunci n + 1 m, de unde:

Contradicţie. Analog se exclude cazul m < n. Rămâne deci adevărat cazul n = m.
Să arătăm că ai = bi, 0 i n. Dacă n = 0, atunci a0 = a = b0. Presupunem că n > 0 şi că afirmaţia este adevărată pentru n – 1.
Cum a = a0 + u(anun–1 + ... + a1) = b0 + u(bnun–1 + ... + b1), din teorema împărţirii cu rest rezultă a0 = b0 şi anun–1 + ... + a1 = bnun–1 + ... + b1. Folosind ipoteza inducţiei, din ultima egalitate deducem şi că a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn.
La fiecare număr natural a > 0, asociem secvenţa finită unic determinată de numere naturale anan–1 ... a1a0, unde ai < u, 0 i n, an ¹ 0 şi:

Aşadar, anan–1 ... a1a0   anun + an–1un–1 + ... + a1u1 + a0u0.
Spunem că prin corespondenţa de mai sus se realizează scrierea numerelor naturale în sistemul de numeraţie cu baza  u.
Dacă u este baza sistemului de numeraţie, atunci numerele naturale c < u se numesc cifrele sistemului de numeraţie cu baza u.
Cel mai răspândit sistem de numeraţie este cel cu baza 10, numit sistemul zecimal.
Sistemul de numeraţie cu baza 2 se numeşte binar. Este limbajul circuitelor electronice.
Sistemul de numeraţie cu baza 16 este numit hexazecimal şi este folosit în programarea calculatoarelor. Are avantajul că este relativ apropiat de sistemul zecimal şi că numerele scrise în baza 16 pot fi foarte uşor convertite în baza de numeraţie 2.
Propoziţia 1 Fie a şi b două numere naturale scrise în baza u: a = amam–1 ... a1a0 şi b = bnbn–1 ... b1b0. Atunci a < b dacă şi numai dacă m < n sau m = n şi at < bt, unde t este cel mai mare indice i pentru care ai ¹ bi.
Demonstraţie:
Dacă m < n, atunci din lema 2 rezultă că a < um+1 un b, deci a < b. Presupunem că m = n şi at < bt, unde t = max{ i | ai ¹ bi }. Avem at + 1  b, deci at· ut + ut btut. Rezultă că:

deci a < b.
Reciproc, dacă a < b, atunci din prima parte a demonstraţiei deducem că m < n sau  m = n şi at < bt, unde t = max{ i | ai ¹ bi }.
Exemple:
Dacă a = 122311(10), b = 92197(10), deoarece m > n, a > b.
Dacă a = 1011000(2), b = 1010111(2), deoarece m = n şi pentru t = 3, at > bt, rezultă că a > b.
 
Propoziţia 2 Numărul maxim care poate fi reprezentat în baza u cu m cifre este um – 1.
Demonstraţie:
Fie a = cm–1cm–2 ... c0 cel mai mare număr cu m cifre, reprezentat în baza u. Atunci:
ci = u – 1 pentru i = 0, ..., m – 1;
a + 1 = 10 ... 0(u) , unde numărul are m + 1 cifre.
a + 1 = 1· um,
Conform definiţiei **********************
a = um – 1
Exemplu:
Numărul maxim care se poate reprezenta cu 4 cifre, în baza 10, este 9999, adică 104 – 1.
Conversia dintr-o bază de numeraţie oarecare în baza 10
Considerăm sistemul de numeraţie cu baza u. Un număr raţional pozitiv a reprezentat în baza u prin şirul a(u) = an–1un–2 ... u0, u–1 ... u–m are, prin definiţie, valoarea în baza 10:

= c–m·u–m + ... + c–1·u–1 + c0·u0 + c1·u1 + ...  + an–1·un–1 =

= an–1·un–1 + ...  + c1·u1 + c0·u0 + c–1·u–1 + ... + c–m·u–m
Exemple:
11021434(5) = 1·57 + 2·56 + 0·55 + 2·54 + 1·53 + 4·52 + 3·51 + 4·50 =
= 78125 + 31250 +1250 + 125 +100 + 15 + 4 = 110869
Putem să mai scriem şi sub forma:
11021434(5) = 5·(5·(5·(5·(5·(5·(5·1 +2) + 0) + 2) + 1) + 4) + 3) + 4 =
= 5·(5·(5·(5·(5·(5·7 + 0) + 2) + 1) + 4) + 3) + 4 =
= 5·(5·(5·(5·(5·35 + 2) + 1) + 4) + 3) + 4 =
= 5·(5·(5·(5·177 + 1) + 4) + 3) + 4 =
= 5·(5·(5·886 + 4) + 3) + 4 =
= 5·(5·4434 + 3) + 4 =
= 5·22173 + 4 =
= 110869
De aici se poate desprinde uşor un algoritm de conversie:
cifră
 
2
0
2
1
4
3
4
număr
1
7
35
177
886
4434
22173
110869
Se înmulţeşte baza cu numărul din dreapta, se adună rezultatul cu numărul din dreapta-sus şi se scrie rezultatul pe rândul de jos:

40A(16) = 4·162 0·161 + A·160 + = 1024 + 10 = 1034
10,011(2) = 1·21 + 0·20 + 0·2–1 + 1·2–2 + 1·2–3 = 2 + 0,25 + 0,125 = 2,375.
Conversia din baza 10 într-o bază de numeraţie oarecare B
Pentru a trece un număr din baza 10 într-o altă baza de numeraţie uÎ, u > 1 se aplică algoritmul:
A.1. Se converteşte partea întreagă a numărului, conform procedurii A.2. şi partea fracţionară a numărului conform procedurii A.3.
A.2. Se fac împărţiri întregi, succesive la baza u, pornind de la numărul întreg care se converteşte;
· în urma fiecărei împărţiri se obţine un cât şi un rest; 
· noul cât este deîmpărţitul următoarei împărţiri întregi; 
· algoritmul se încheie când se obţine câtul 0; 
· resturile obţinute, începând cu ultimul şi până la primul, reprezintă cifrele numărului, de la cea mai semnificativă la cea mai puţin semnificativă. 
A.3. Se fac înmulţiri succesive, cu baza u, începând cu partea fracţionară a numărului care se converteşte
· partea fracţionară a fiecărui produs constituie deînmulţitul pentru produsul următor 
· partea fracţionară a numărului convertit în baza u este reprezentată de succesiunea obţinută din părţile întregi ale tuturor produselor obţinute, începând cu primul produs, care furnizează cifra cea mai semnificativă a rezultatului 
· algoritmul se încheie cu un rezultat exact atunci când: 
1. se obţine ca produs parţial un întreg; 
2. se obţine aproximarea dorită a numărului fracţionar după un anumit număr de paşi. 
Demonstraţie
A.2. Fie a numărul întreg în baza 10 care se converteşte în baza u, conform algoritmului A.2. şi fie reprezentarea în baza u obţinută prin conversie, de forma cn–1cn–2 ... c0. Algoritmul este corect dacă se termină într-un număr finit de paşi şi dacă:

Notăm cu a1 câtul obţinut după prima împărţire întreagă şi cu c0 restul acestei împărţiri; au loc relaţiile:
c0 = a0 – a1·u, a1 < a0
Analog, pentru orice i = 1, ..., n au loc relaţiile:
ci–1 = ai–-1 – ai·u, ai < ai–1
Din şirul de inegalităţi ai < ai–1 (i = 1, ..., n) rezultă finitudinea algoritmului.
Fie ultimul rest, cn–1 = an–1 – an·u, unde an = 0. Rezultă:
a0 = c0 + a1·u = c0 + c1·u + a2·u2 = ... = c0·u0 + c1·u1 + c2·u2 + ... + an–1·un–1 =  c0·u0 + c1·u1 + ...  + an–1·un–1 + an·un
A.3. Fie a numărul subunitar în baza 10 care se converteşte în baza u conform algoritmului A.3 şi fie reprezentarea în baza u, obţinută prin conversie, de forma 0,c–1c–2 ... c–m. Algoritmul este corect dacă:

Notăm cu a1 partea fracţionară a primului produs şi cu c–1 partea întreagă a acestuia. Au loc relaţiile:
a1·u = c–1 +  a1   a1 = c–1·u–1 +  a1·u–1
Analog, pentru orice i =1, ..., m au loc relaţiile:
ai–1·u = c–i +  ai   ai–1 = c–i·u–i +  ai·u–i
Din şirul de egalităţi ai–1 = c–i·u–i +  ai·u–i (i =1, ..., m), rezultă:
a0 = c–1·u–1 + c–2·u–2 + a2·u–2 = c–1·u–1 + c–2·u–2 + ... + am–1·u–(m–1) = ... = c–1·u–1 + c–2·u–2 + ... + cm–1·u–(m–1) + c–m·u–m
Cazul 1: Dacă există un m astfel încât am = 0, atunci algoritmul este finit şi rezultatul conversiei este exact.
Cazul 2: Este posibil ca numărului raţional a0, reprezentat în baza 10 să îi corespundă un număr raţional 0,c–1c–2 ... c–m reprezentat in baza u printr-o fracţie periodică; în acest caz, algoritmul se încheie atunci când se determină perioada.
Exemple:
A.2. Conversia numărului 95.244 în baza 5 se obţine astfel:
număr 
baza
cât
rest
95244 
:5
19048
4
19048
:5
3809
3
3809
:5
761
4
761
:5
152
1
152
:5
30
2
30
:5
6
0
6
:5
1
1
1
:5
0
1
Rezultatul obţinut este 95.244 = 11021434(5).
A.3. Conversia numărului 0,7109375 în baza 2 se obţine astfel:
număr 
baza
partea
fracţională
partea
întreagă
0,7109375 
´ 2
1,421875
1
0,421875
´ 2
0,84375
0
0,84375
´ 2
1,6875
1
0,6875
´ 2
1,375
1
0,375
´ 2
0,75
0
0,75
´ 2
1,5
1
0,5
´ 2
1,0
1
Rezultatul conversiei este 0,1011011(2).
Conversia din baza u în baza uk
Pentru conversia unui număr din baza u în baza uk se aplică algoritmul următor:
Se grupează cifrele numărului în baza u în grupe de câte k elemente, începând de la marca zecimală la dreapta şi la stânga;
· valoarea fiecărei grupe, în baza 10, corespunde unei cifre în baza uk;
· numărul în baza uk este format din cifrele obţinute prin conversiile de la pasul precedent.
Demonstraţie:
Fie a numărul întreg, reprezentat în baza u cu m cifre de forma:
a = cm–1cm-2 ... c0;
Se completează lungimea lui a la n cifre, cu n = k · p, şi cu aj = 0 pentru m – 1< j < n. Rezultă:
a = (c0 · u0 + ... + ck–1 · uk–1) + uk(ck · u0 + ... + c2k–1 · uk–1) + ... + uk(p–1) (ck(p-1) · u0 + ... + ckp–1 · uk–1)
Notăm:
b0 = c0 · u0 + ... + ck–1· uk–1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
bp–1 = ck(p–1) · u0 + ... + ckp–1 · uk–1
Pentru orice i = 0, ..., p – 1, bi este valoarea zecimală corespunzătoare grupei i, de câte k cifre din alfabetul bazei  u, de forma:
ck(i–1) ... cki–2cki–1(u).
Din propoziţia 2 rezultă că bi < uk pentru orice i = 0, ... , p – 1, deci bi < u  pentru orice i = 0, ..., p – 1.
Rezultă egalitatea:
a = b0 + b1 · uk + b2 · u2k + ... + bp–1 · uk(p–1),
care confirmă corectitudinea algoritmului.
Exemple:
1) Se cere să se convertească numărul 102001121(3) în baza 9.
Cum 9 = 32, împărţim numărul în grupe de câte două cifre:
102001121(3) ® 1'02'00'11'21(3) ® 12047(9)
Convertim fiecare grupă în baza 9:
21(3) = 2·31 + 1·30 = 7(9)
11(3) = 1·31 + 1·30 = 4(9)
00(3) = 0·31 + 0·30 = 0(9)
02(3) = 0·31 + 2·30 = 2(9)
01(3) = 0·31 + 1·30 = 1(9)
Obţinem:
102001121(3) = 12047(9)
2) Să se convertească numărul 1010,01101(2) în baza 16.
Deoarece 16 = 24, împărţim numărul în grupe de câte 4 cifre:
1010,01101(2) ® 1010,0110'1000(2)
1010(2) = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 10 = A(16)
0110(2) = 0·23 + 1·22 + 1·21 + 0·20 = 6(16)
1000(2) = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 0·20 = 8(16)
Obţinem:
1010,01101(2) = A,68(16)
Conversia din baza uk în baza u
Pentru conversia unui număr din baza uk în baza u se aplică algoritmul următor:
· se reprezintă fiecare cifră a numărului din baza uk în baza u, pe o lungime de k cifre.
· reprezentarea numărului în baza u se obţine prin concatenarea grupelor de câte k cifre obţinute la pasul precedent.
Demonstraţie:
Fie a = cn–1 ... c0 un număr întreg în baza uk. Rezultă:
a = c0 + c1·uk + c2·u2k + ... + cn–1·uk(n-1);
Cum, pentru orice i  = 0, ..., n – 1, ci < uk, rezultă că reprezentarea numărului ci în baza u are cel mult k cifre, deci există bi, k–1, bi, k–2, ..., bi, 0, mai mici uk, astfel încât ci = bi,0·u0 + ... + bi,k–1·uk–1. Obţinem succesiv:
a = (b0,0·u0 + ... + b0,k–1·uk–1) + (b1,0·u0 + ... + b1,k–1·uk–1)·uk + ... + (bn–1,0·u0 + ... + bn–1,k–1·uk–1)·uk(n–1)
a = (b0,0·u0 + ... + b0,k–1·uk–1) + (b1,0·uk + ... + b1,k–1·u2k–1) + ... + (bn–1,0·ukn–k + ... + bn–1,k–1·ukn–1)
Notând cij cu dki+j, obţinem:
a = d0· u0 + d1· u1 + ... + dkn–1· ukn–1,
reprezentarea numărului a în baza u.
Exemplu:
Să convertim numărul A,68(16) în baza 2. Observăm că 16 = 24, deci vom reprezenta fiecare cifră a sa pe câte 4 cifre binare:
A(16) = 10 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 1010(2)
6(16) = 6 = 0·23 + 1·22 + 1·21 + 0·20 = 0110(2)
8(16) = 8 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 0·20 = 1000(2)
Obţinem:
A,68(16) = 1010,0110 1000(2) = 1010,01101(2)

















